https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/foundations/index.html**今日はトンカツ？**4月、千葉工大の新学期。キャンパスのマスコット Chibanyには、学生たちが 毎日持ってくる二つの弁当について、頭から離れない問いが一つあります。このPart は、その問いから確率のすべてを——数えることによって——組み立てます。可能な 日々の集合、部分集合としての事象、可能性を消していくこととしての条件付け、 そして更新の必然的な算術としてのベイズの定理。 多くの確率の授業はいきなり公式から始まります。ここでは**確率とは高級な数え上げ **です：可能性は全部で何通り？そのうちトンカツを含むのは？比率は？この視点が あれば、条件付き確率もベイズの定理も、その先のすべても、神秘的ではなく自然に 感じられます——そしてそれはまさに確率的プログラミングが動く心的 モデルです。数学の予備知識は不要です。 章一覧 Chibanyはお腹が空いた 確率と数え上げ 条件付き確率――可能な結果を絞り込む ベイズの定理：信念の更新 用語集 はじめての方はまずここからで二つの読書トラックとPartの構成をご覧 ください。 本プロジェクトは日本確率計算コンソーシアム協会（JPCCA） の助成を受けています。HugojaThu, 02 Jul 2026 00:00:00 +0000https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/foundations/hungry/index.htmlThu, 02 Jul 2026 00:00:00 +0000https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/foundations/hungry/index.htmlChibanyは、今日このあと食べるおいしい食事の夢から目覚めた。1日に2回、学生がChibanyへの供え物としてお弁当箱を持ってきてくれる。昼前に一人の学生が昼食用のお弁当箱を、夕方には別の学生が夕食用のお弁当箱を届けてくれる。食事はハンバーガー またはトンカツ（豚カツ） のどちらかだ。食事の可能性を整理するため、Chibanyは4つの可能性を書き出した： block-beta block columns 2 a["H(amburger) H(amburger)"] b["H(amburger) T(onkatsu)"] c["T(onkatsu) H(amburger)"] d["T(onkatsu) T(onkatsu)"] end 集合 これは4つの要素からなる集合を形成する。集合とは、要素または元の集まりのことだ。この場合、要素はその日にChibanyに与えられた2つの食事によって定義される。集合はそれが含む要素または含まない要素によって定義される。要素はコンマで区切って列挙され、"$\{$" が集合の始まりを、"$\}$" が終わりを示す。 標本空間 確率論の文脈では、起こり得ることの基本的な要素を結果（outcome）と呼ぶ。結果は確率が構築される基本的な構成要素だ。基本的な概念であることから、この起こり得る結果の集合を指すためにギリシャ文字 $\Omega$ がよく使われる。毎日の供え物を丁寧に記録しながら、Chibanyは $\Omega = \{HH, HT, TH, TT \}$ と定義する。最初の文字が昼食の供え物を、2番目の文字が夕食の供え物を表す。$H$ は常にハンバーガーを、$T$ はトンカツを指すことものとする。 なぜ集合を使うのか？ 集合は確率に最適だ。なぜなら、可能性を視覚化して数えることができるからだ。確率に関するすべての問いはこうなる： 何が可能か？（標本空間を定義する） 何に関心があるか？（事象を定義する） 両方を数えよ！（比率を計算する） 標本空間と事象は集合として定義される。確率は2つの集合の相対的な大きさに帰着する！ これにより確率は抽象的なものではなく具体的なものになる。 一意な要素についての注意 技術的には、集合の要素は一意でなければならない。したがって、Chibanyがハンバーガーのペアを2回とハンバーガーとトンカツのペアを書いた場合（$\{HH, HH, HT\}$）、ハンバーガーのペアが1回だけでハンバーガーとトンカツのペアがある場合（$\{HH, HT\}$）と同じ可能性の集合になる。言い換えると、$\{HH, HH, HT\} = \{HH, HT\}$ となる。https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/foundations/probability-as-counting/index.htmlThu, 02 Jul 2026 00:00:00 +0000https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/foundations/probability-as-counting/index.htmlこのチュートリアルの目標の一つは、確率とは数え上げであるということを示すことです。すべての結果が等しく起こりやすい場合、確率は各集合に含まれる結果の相対的な数として定義されます。結果の起こりやすさが等しくない場合も、少し複雑になるだけです。各結果が属する集合のサイズに1として数えられる代わりに、結果をその相対的な重みに従って数えます。 数え上げ 確率を定義するために使う基本的な操作は、集合の要素の数を数えることです。$A$ が集合であれば、$|A|$ はその集合の濃度（カーディナリティ）またはサイズです。 数学的記法：濃度（カーディナリティ） 集合のサイズを縦棒を使って表します： $|A|$ は「集合 $A$ のサイズ」または「$A$ に含まれる要素の数」を意味します 例：$|\{H, T\}| = 2$ 「この縦棒の間に要素がいくつあるか？」と考えてみてください。 例えば、Chibany のランチの選択肢の集合は $\{H,T\}$ です。要素の数を数えることでそのサイズがわかり、$\left|\{H, T\} \right| = 2$ となります。ある日の Chibany の食事の提供結果の集合は $\Omega = \{HH, HT, TH, TT \}$ です。結果は4つあるので、そのサイズ $|\Omega|$ は $4$ です。 Chibany はまだお腹が空いている…とんかつが食べたい Chibany はまだお腹が空いており、今日の食事の可能性（つまり結果）が何であるか気になっています。Chibanyは「今日学生たちがとんかつを持ってきてくれる確率はどれくらいだろう？」と考えています。 この計算をするために、Chibany は標本空間 $\Omega$ を再び書き出します。そして「今日とんかつが提供される」という事象を形成します。とんかつが含まれる可能な結果の集合を $A = \{HT, TH, TT\}$ と定義してその事象を表します。それらを赤で強調します。Chibany は「すごい…4つの可能な結果のうち3つが赤だ。今日は運が味方してくれているに違いない！」と思います。 block-beta block columns 2 a["H(amburger) H(amburger)"] b["H(amburger) T(onkastu)"] c["T(onkastu) H(amburger)"] d["T(onkastu) T(onkastu)"] end style b stroke: #f33, stroke-width:4px style c stroke: #f33, stroke-width:4px style d stroke: #f33, stroke-width:4px そうです、Chibany、いつもそうあるべきかのように、運が味方しています。とんかつを少なくとも1回もらえる確率は4分の3、つまり0.75です。Chibanyは確率を正しい方法で計算しました！https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/foundations/conditional-probability/index.htmlThu, 02 Jul 2026 00:00:00 +0000https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/foundations/conditional-probability/index.html本章の大きな問い 新しい情報を得たとき、考えを変えたことはありますか？ もちろんあるはずです！それこそが条件付き確率のすべてです：新しい知識が「何が起こりうるか」についての信念をどう変えるか。 この章で学ぶこと： 何かを知ることが標本空間をどのように制限するか 事象同士が互いに影響を及ぼすとき（従属性） 可能性に異なる重みがある場合の確率の計算方法 条件付き確率に対する最初の直感がなぜしばしば間違いなのか！ 驚きの結果への準備はいいですか？Chibanyが夕食について何を学ぶか見てみましょう…… Chibanyはとんかつディナーが食べたい 千葉工大の卒業生である田中さんがある日Chibanyを訪ね、明日の提供メニューには少なくとも一品のとんかつが入ることを知っていると告げます。Chibanyは喜びます。2品目のメニューがとんかつである可能性がどれくらいかを知りたくなった彼らは、田中さんに問いかけます。田中さんは「以前と同じくらいの確率なので1/2のはず」と答えます。Chibanyは同意しません。「少なくとも1品はとんかつだと知っているので、何かを学んだことになる」と言います。また、Chibanyは楽観主義者であり、すべてのとんかつを食べる資格があります。どちらが正しいのでしょうか！？表で確かめてみましょう…… block-beta block columns 1 a["HH"] block:group1 b["HT"] c["TH"] d["TT"] space end end style a fill:#999, text-decoration:line-through style group1 stroke: #33f, stroke-width: 6px style b stroke: #f33, stroke-width: 4px style d stroke: #f33, stroke-width: 4px 少なくとも1品がとんかつの場合、可能な結果の空間は$\{HT, TH, TT\}$であり、青枠で示されています。Chibanyが注目している事象は赤枠で示されています。Chibanyが正しかったのです！ディナーにとんかつを得る確率は3分の2であり、2分の1より大きいことがわかります。 よくある落とし穴：直感の罠 多くの学生（と田中さん！）が考えること：「各食事がそれぞれ50/50なら、一方について知っても他方には影響しないはず。だから確率はやっぱり1/2では？」 これが間違いである理由：「少なくとも1つはT」と知ることは、特定の1つの食事についてだけ教えてくれるのではなく、HHという結果を完全に消去するのです。HHを標本空間から除外すると、{HT, TH, TT}が残り、そのうち2つがとんかつで終わります！ 重要な洞察：条件付き確率は、単に一方の事象が他方に影響するというだけではなく、何が可能かを制限することなのです。「少なくとも1つはT」と知ると、HHは不可能になり、残りのすべての確率が変わります。 Chibanyは田中さんに「学ぶことに終わりはない、千葉工大のジョーのクラスを取ってみてはどうか」とやさしく伝えます。Chibanyはそのクラスの評判がとても良いと聞いています！ 集合の制限として条件付き確率を定義する Chibanyが計算したのは条件付き確率です：ある事象（夕食がとんかつ）の確率を、別の事象（少なくとも1品はとんかつ）の知識を条件として求めるものです。ある事象を条件とすることは、その事象に含まれる可能な結果が可能性の集合、すなわち標本空間を形成することを意味します。そして、その制限された標本空間の中で通常通りに確率を計算します。この例では、$A= \{HT, TT\}$（夕食がとんかつ）という事象の確率を、少なくとも1品はとんかつという知識$B = \Omega_{\geq 1 T}= \{HT, TH, TT\}$を条件として求めています。形式的には$P(A \mid B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}$と書かれ、$A$と$B$の両方に含まれる結果の数を$B$の結果の数で割ります。ここでは$A \cap B = \{HT, TT\}$なので$P(A \mid B) = \frac{2}{3}$。$\mid$の左側が確率を知りたいもの、$\mid$の右側が真であると知っているものを表します。https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/foundations/bayes-rule/index.htmlThu, 02 Jul 2026 00:00:00 +0000https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/foundations/bayes-rule/index.html確率論における最も驚くべき結果 あなたの直感は、今から完全に打ち砕かれます。 🤯 陽性の医療検査が意味することは、あなたが思っているものとは違う。目撃証言は期待するほど信頼できない。そして確率論で最も有名な問題の一つは、なぜ専門家でさえ途方に暮れるのか、その理由をこれから明らかにします。 この章で学ぶこと： ベイズの定理が証拠をもとにどのように信念を更新するか 基準率（ベースレート）が正確さよりも重要な理由 ほぼすべての人がはまる認知的罠を回避する方法 タクシー問題への最初の答えがほぼ確実に間違っている理由！ 正直な警告：この章を読み終えると、あなたは確率に対する直感を永遠に疑うようになるでしょう。準備はいいですか？ では、霧深い夜の Chibany に会いに行きましょう…… ベイズの定理とは何か？ あなたが世界についてある信念（仮説）を持っているとします。そこへ何か新しいもの（データ）を観測します。ベイズの定理は、観測したことをもとに信念をどのように更新すべきかを教えてくれます。 例： ほとんどのタクシーが緑色だと思っていたとします。霧の中で青く見えるタクシーを目撃しました。実際の色についての信念をどのように更新すべきでしょうか？ 公式 ベイズの定理（ベイズの規則）は、ある確率変数に関する情報が与えられたとき、別の確率変数についての信念をどのように更新するかを示します。世界の仕組みについて、確率変数 $H$ で表されるいくつかの仮説があるとしましょう。また、私たちには情報をもたらしてくれる五感があります。五感から得られるかもしれない情報を $D$（例えば目から入る画像）、現在観測している値を $d$（例えばとんかつの写真）とします。 仮説 $h$ が世界の仕組みであるという信念を、$D=d$ を観測した後にどのように更新すべきかを、ベイズの定理は次のように示します： $$P(H=h \mid D = d) = \frac{P(D=d\mid H=h) P(H=h)}{P(D=d)}$$ここで： $P(H=h \mid D=d)$ は事後分布と呼ばれます：データを見た後の更新された信念 $P(D=d \mid H=h)$ は尤度と呼ばれます：$h$ が世界の仕組みである真の仮説であるとき $d$ を観測する確率 $P(H=h)$ は事前分布と呼ばれます：データを見る前に $h$ が世界の仕組みである可能性 $P(D=d)$ は証拠または周辺尤度と呼ばれます：すべての仮説にわたって $d$ を観測する全体的な確率 各用語の理解 事前分布 = データを見る前に信じていたこと 尤度 = それぞれの仮説に対してデータがどれほど一致するか 証拠 = このデータは全体的にどれほど驚くべきものか？ 事後分布 = データを見た後に信じるべきこと 重要な洞察： 強い証拠（高い尤度）は弱い事前分布を覆すことができますが、特別な主張にはやはり特別な証拠が必要です！https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/foundations/glossary/index.htmlThu, 02 Jul 2026 00:00:00 +0000https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/foundations/glossary/index.htmlこの用語集は、チュートリアル全体で使用される重要な用語の定義を提供します。各用語をクリックすると定義が展開されます。 基本概念 set 集合（set） 集合とは、要素またはメンバーの集まりです。集合は、含む要素と含まない要素によって定義されます。要素はカンマで区切って列挙され、"$\{$" が集合の開始を、"$\}$" が集合の終了を表します。集合の要素は一意（重複なし）であることに注意してください。 例： $\{H, T\}$ は H と T の2つの要素を含む集合です。 outcome space 標本空間（outcome space） 標本空間（ギリシャ文字オメガ $\Omega$ で表す）は、ある確率的プロセスにおけるすべての起こりうる結果の集合です。確率を計算するための基礎となります。 例： Chibany の1日2回の食事に対して、$\Omega = \{HH, HT, TH, TT\}$ となります。 event 事象（event） 事象とは、起こりうる結果のうち、0個・一部・またはすべてを含む集合です。言い換えると、事象とは標本空間 $\Omega$ の任意の部分集合です。 例： 「少なくとも1回のとんかつ」は事象 $\{HT, TH, TT\} \subseteq \Omega$ に対応します。 cardinality 濃度（cardinality） 集合の濃度またはサイズとは、その集合に含まれる要素の数です。$A = \{H, T\}$ のとき、$A$ の濃度は $|A|=2$ となります。