確率と数え上げ

このチュートリアルの目標の一つは、確率とは数え上げであるということを示すことです。すべての結果が等しく起こりやすい場合、確率は各集合に含まれる結果の相対的な数として定義されます。結果の起こりやすさが等しくない場合も、少し複雑になるだけです。各結果が属する集合のサイズに1として数えられる代わりに、結果をその相対的な重みに従って数えます。

数え上げ

確率を定義するために使う基本的な操作は、集合の要素の数を数えることです。$A$ が集合であれば、$|A|$ はその集合の濃度（カーディナリティ）またはサイズです。

例えば、Chibany のランチの選択肢の集合は $\{H,T\}$ です。要素の数を数えることでそのサイズがわかり、$\left|\{H, T\} \right| = 2$ となります。ある日の Chibany の食事の提供結果の集合は $\Omega = \{HH, HT, TH, TT \}$ です。結果は4つあるので、そのサイズ $|\Omega|$ は $4$ です。

Chibany はまだお腹が空いている…とんかつが食べたい

Chibany はまだお腹が空いており、今日の食事の可能性（つまり結果）が何であるか気になっています。Chibanyは「今日学生たちがとんかつを持ってきてくれる確率はどれくらいだろう？」と考えています。

この計算をするために、Chibany は標本空間 $\Omega$ を再び書き出します。そして「今日とんかつが提供される」という事象を形成します。とんかつが含まれる可能な結果の集合を $A = \{HT, TH, TT\}$ と定義してその事象を表します。それらを赤で強調します。Chibany は「すごい…4つの可能な結果のうち3つが赤だ。今日は運が味方してくれているに違いない！」と思います。

block-beta
    block
        columns 2
        a["H(amburger) H(amburger)"] b["H(amburger) T(onkastu)"]
        c["T(onkastu) H(amburger)"] d["T(onkastu) T(onkastu)"]
    end
    style b stroke: #f33, stroke-width:4px
    style c stroke: #f33, stroke-width:4px
    style d stroke: #f33, stroke-width:4px

そうです、Chibany、いつもそうあるべきかのように、運が味方しています。とんかつを少なくとも1回もらえる確率は4分の3、つまり0.75です。Chibanyは確率を正しい方法で計算しました！

数え上げとしての確率

事象 $A$ の確率は $\frac{|A|}{|\Omega|}$ です。これは $P(A)$ と書かれます。先の例では、$|A| = | \{HT, TH, TT\} | = 3$ かつ $|\Omega| = | \{HH, HT, TH, TT\}| = 4$ であり、それぞれ3つと4つの要素を持ちます。

数え上げとしての確率の可視化

注目したい結果を赤いインクで丸で囲むと考えてみましょう。すると：

block-beta
    block
        columns 2
        a["HH<br/>❌"] b["HT<br/>✓"]
        c["TH<br/>✓"] d["TT<br/>✓"]
    end
    style b stroke: #f33, stroke-width:4px
    style c stroke: #f33, stroke-width:4px
    style d stroke: #f33, stroke-width:4px

丸で囲まれた結果 ＝ 事象 $A$（とんかつを含む） すべての結果 ＝ 標本空間 $\Omega$

結果の起こりやすさが等しくない場合

可能な結果の起こりやすさが等しくない場合は、それぞれの相対的な尤度を合計して「サイズ」を計算します。すべては同じように機能します：事象の確率は、事象内の可能な結果の総「サイズ」または「重み」を、すべての可能な結果の総サイズまたは重みと比較したものです。この例は後で見ていきます！

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11

# Generate 10,000 days
import jax.numpy as jnp

keys = jax.random.split(key, 10000)
days = jax.vmap(lambda k: chibany_day.simulate(k, ()).get_retval())(keys)

# Check if event occurs: at least one tonkatsu
has_tonkatsu = (days[:, 0] == 1) | (days[:, 1] == 1)

# Probability ≈ fraction of times event occurred
prob = jnp.mean(has_tonkatsu)  # Equivalent to |A| / |Ω|

別の例

Chibany が最初の提供でとんかつを受け取る確率はどれくらいでしょうか？ランチにとんかつが含まれる可能な結果は $\{TH, TT\}$ です。提供の可能な結果は全部で $\Omega = \{HH,HT, TH, TT\}$ の4つあります。したがって、最初の提供でとんかつを受け取る確率は $|\{TH, TT\}|/|\{HH,HT, TH, TT\}| = 2/4=1/2$ です。Chibany は数え上げを説明するために次の表を描きます：

block-beta
    block
        columns 2
        a["H(amburger) H(amburger)"] b["H(amburger) T(onkastu)"]
        c["T(onkastu) H(amburger)"] d["T(onkastu) T(onkastu)"]
    end
    style c stroke: #f33, stroke-width:4px
    style d stroke: #f33, stroke-width:4px

確率変数

Chibany が知りたいこと…とんかつの量は？

Chibany は毎日どれだけとんかつをもらえるか知りたいと思っています。そのために、各結果を整数に変換します：その結果に含まれるとんかつの数です。彼らはこれを関数 $f : \Omega \rightarrow \{0, 1, 2, \ldots\}$ と呼びます。これは標本空間から結果を取り出し、それを数値に対応付ける（変換する）ことを意味します。

Chibanyは気づきます：すべての結果を整数に対応付けることは、各整数を事象にするようなものです！とんかつカウンター $f$ は $f(HH) = 0$、$f(HT) = 1$、$f(TH)=1$、$f(TT) = 2$ と定義されます。Chibany は最初の確率変数を定義しました。

block-beta
    block
        columns 2
        a["HH: 0"] space
        b["HT: 1"] c["TH: 1"]
        d["TT: 2"] space
    end
    style b stroke: #44c, stroke-width:4px
    style c stroke: #44c, stroke-width:4px
    style d stroke: #f33, stroke-width:4px

確率変数を使った確率の計算

とんかつが2つある確率はどれくらいでしょうか？とんかつが2つある結果（赤で強調された $\{TT\}$）の数を数え、可能な結果の数（$|\Omega|=4$）で割ります。したがって、4分の1または1/4です。

ちょうどとんかつが1つある確率はどうでしょうか？ちょうどとんかつが1つある結果（青で強調された $\{HT, TH\}$）の数を数え、可能な結果の数（$|\Omega|=4$）で割ります。したがって2/4または1/2です。

この章で学んだこと

この章では以下を発見しました：

• 確率は数え上げ：$P(A) = |A|/|\Omega|$
• 濃度（カーディナリティ）：$|A|$ を使って集合のサイズを表す
• 確率変数：結果を数値に対応付ける関数
• 確率変数が事象を作る方法：各値は $\Omega$ の部分集合に対応する

次は新しい情報を得たときに何が起こるかを探ります：条件付き確率です！