連続体：連続確率

数えることから測ることへ

Chibanyはヒストグラムをじっと見つめています。期待値は理解できました。455gという平均は、500gのとんかつ弁当と350gのハンバーグ弁当の混合として意味をなします。

しかし、まだ気になることがあります。

最初の週の実際の計測値を見てみましょう：

Monday:    520g  (tonkatsu)
Tuesday:   348g  (hamburger)
Wednesday: 505g  (tonkatsu)
Thursday:   362g  (hamburger)
Friday:    488g  (tonkatsu)

重さはちょうど500gや350gではありません！ばらつきがあります。

そして、より深い問いがあります：弁当がちょうど505.000000…グラムである確率はいくらか？

Chibanyは気づきます：チュートリアル1では、離散的な結果を数えることで確率を学びました。しかし、重さは離散的ではありません。連続です。340gと520gの間には無限に多くの可能な値があります。

可能性が無限にある場合、どのように確率を割り当てるのでしょうか？

離散確率の問題

離散的なアプローチがなぜうまくいかないかを見てみましょう。

チュートリアル1では、Chibanyはこの公式を使いました：

これは結果が有限個だから成り立ちました：

• 標本空間：{とんかつ、ハンバーグ}
• $P(\text{tonkatsu}) = \frac{1}{2}$（ランダムに選ぶ場合）

しかし連続的な重さでは、これは成り立ちません：

• 標本空間：（例えば）340gから520gの間のすべての実数
• $P(\text{weight} = 505g \text{ exactly}) = \frac{1}{\infty} = 0$

すべての特定の重さの確率がゼロです！

これはおかしく思えます。Chibanyは確かに505gを観測しました。起きたことがゼロの確率であるはずがないのでしょうか？

解決策：確率密度

解決策は、正確な値について問うのをやめ、範囲について問うことです。

次の代わりに：

• ❌ 「P(重さ = 505g)はいくらか？」（答え：0）

次のように問います：

• ✅ 「P(500g ≤ 重さ ≤ 510g)はいくらか？」（答え：正の数）

重要な洞察： 連続確率では、数ではなく面積を測ります。

確率密度関数（PDF）

確率密度関数（PDF）は、異なる値の相対的な尤度を表す関数$p(x)$です。

重要な性質：

1. $p(x) \geq 0$（すべての$x$で密度は非負）
2. $\int_{-\infty}^{\infty} p(x) dx = 1$（確率の合計は1）
3. $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b p(x) dx$（確率は曲線の下の面積）

重要： $p(x)$自体は確率ではありません！それは密度です。

• $p(x)$は1より大きくなることがある
• $p(x)$の下の面積だけが確率である

PDFと確率の可視化

簡単な例で見てみましょう：0から1の一様分布。

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import jax.numpy as jnp
import matplotlib.pyplot as plt

# PDF: uniform from 0 to 1
# p(x) = 1 for 0 ≤ x ≤ 1, and 0 otherwise
x = jnp.linspace(-0.5, 1.5, 1000)
pdf = jnp.where((x >= 0) & (x <= 1), 1.0, 0.0)

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plt.figure(figsize=(12, 5))

# Plot 1: The PDF itself
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x, pdf, 'b-', linewidth=2)
plt.fill_between(x, 0, pdf, alpha=0.3)
plt.xlabel('x', fontsize=12)
plt.ylabel('p(x)', fontsize=12)
plt.title('Probability Density Function', fontsize=14, fontweight='bold')
plt.ylim(-0.1, 1.3)
plt.grid(alpha=0.3)

# Plot 2: Probability of a range
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x, pdf, 'b-', linewidth=2, alpha=0.3)

# Highlight the region 0.3 ≤ x ≤ 0.7
region_x = x[(x >= 0.3) & (x <= 0.7)]
region_pdf = pdf[(x >= 0.3) & (x <= 0.7)]
plt.fill_between(region_x, 0, region_pdf, color='orange', alpha=0.7,
                 label=f'P(0.3 ≤ X ≤ 0.7) = {0.7-0.3:.1f}')

plt.xlabel('x', fontsize=12)
plt.ylabel('p(x)', fontsize=12)
plt.title('Probability = Area Under Curve', fontsize=14, fontweight='bold')
plt.ylim(-0.1, 1.3)
plt.legend(fontsize=11)
plt.grid(alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('visualization_1.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

重要な観察：

• PDFは高さ1.0で平坦（一様な密度）
• $P(0.3 \leq X \leq 0.7) = \text{area} = \text{width} \times \text{height} = 0.4 \times 1.0 = 0.4$
• $P(X = 0.5 \text{ exactly}) = \text{area of vertical line} = 0$

一様分布

最も単純な連続分布は一様分布です。

定義： 確率変数$X$が$[a, b]$上で一様分布するとは、その範囲内のすべての値が等しく起こりやすいことを意味します。

PDF：

直感： PDFは許容範囲全体で平坦（一定）です。全体の面積が1になるように、高さは$\frac{1}{b-a}$です。

記法： $X \sim \text{Uniform}(a, b)$

例：一様なコーヒー温度

Chibanyの職場のコーヒーメーカーは信頼できません。朝のコーヒーの温度は60°Cから80°Cの間で一様分布しています。

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from genjax import gen, uniform
import jax.numpy as jnp
import jax.random as random

@gen
def coffee_temperature():
    """Model: coffee temperature uniformly between 60 and 80 degrees C"""
    temp = uniform(60.0, 80.0) @ "temp"
    return temp

# Simulate 10,000 cups
key = random.PRNGKey(42)
temps = []

for _ in range(10000):
    key, subkey = random.split(key)
    trace = coffee_temperature.simulate(subkey, ())
    temps.append(trace.get_retval())

temps = jnp.array(temps)

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# Plot histogram
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.hist(temps, bins=50, density=True, alpha=0.7, color='brown', edgecolor='black')
plt.axhline(1/(80-60), color='red', linestyle='--', linewidth=2,
            label=f'Theoretical PDF: p(x) = 1/20 = {1/20:.3f}')
plt.xlabel('Temperature (°C)', fontsize=12)
plt.ylabel('Probability Density', fontsize=12)
plt.title("Chibany's Coffee Temperature (Uniform Distribution)", fontsize=14, fontweight='bold')
plt.legend(fontsize=11)
plt.grid(alpha=0.3)
plt.savefig('coffee_temperature_histogram.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

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# Continued from previous code block (requires temps array from above)
# Calculate probabilities for ranges
import jax.numpy as jnp

prob_too_cold = jnp.mean(temps < 65)  # Below 65°C
prob_just_right = jnp.mean((temps >= 70) & (temps <= 75))  # 70-75°C
prob_too_hot = jnp.mean(temps > 75)  # Above 75°C

print(f"P(temp < 65°C) = {prob_too_cold:.3f}")
print(f"P(70°C ≤ temp ≤ 75°C) = {prob_just_right:.3f}")
print(f"P(temp > 75°C) = {prob_too_hot:.3f}")

出力：

P(temp < 65°C) = 0.250
P(70°C ≤ temp ≤ 75°C) = 0.250
P(temp > 75°C) = 0.250

理論的な計算：

• $P(\text{temp} < 65) = \frac{65-60}{80-60} = \frac{5}{20} = 0.25$ ✓
• $P(70 \leq \text{temp} \leq 75) = \frac{75-70}{80-60} = \frac{5}{20} = 0.25$ ✓
• $P(\text{temp} > 75) = \frac{80-75}{80-60} = \frac{5}{20} = 0.25$ ✓

完璧に一致しています！GenJAXのシミュレーションは理論的な確率を近似します。

累積分布関数（CDF）

連続分布を扱う別の方法は、累積分布関数（CDF）を通じてです。

定義： 確率変数$X$のCDFは：

これは「Xがx以下である確率はいくらか？」を教えてくれます。

性質：

1. $F_X(-\infty) = 0$（負の無限大以下である確率は0）
2. $F_X(\infty) = 1$（無限大以下である確率は1）
3. $F_X$は単調非減少（決して下がらない）
4. $P(a \leq X \leq b) = F_X(b) - F_X(a)$（CDF同士の差で確率を求める）

一様分布のCDF

$X \sim \text{Uniform}(a, b)$の場合：

Chibanyのコーヒーでこれを可視化しましょう：

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import jax.numpy as jnp
import matplotlib.pyplot as plt

# Coffee temperature: Uniform(60, 80)
x = jnp.linspace(55, 85, 1000)

# PDF
pdf = jnp.where((x >= 60) & (x <= 80), 1/20, 0.0)

# CDF
cdf = jnp.where(x < 60, 0.0,
        jnp.where(x > 80, 1.0,
                  (x - 60) / 20))

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plt.figure(figsize=(12, 5))

# Plot 1: PDF
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x, pdf, 'b-', linewidth=2)
plt.fill_between(x, 0, pdf, alpha=0.3)
plt.xlabel('Temperature (°C)', fontsize=12)
plt.ylabel('p(x)', fontsize=12)
plt.title('PDF: Probability Density Function', fontsize=14, fontweight='bold')
plt.ylim(-0.01, 0.07)
plt.grid(alpha=0.3)

# Plot 2: CDF
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x, cdf, 'r-', linewidth=2)
plt.xlabel('Temperature (°C)', fontsize=12)
plt.ylabel('F(x) = P(X ≤ x)', fontsize=12)
plt.title('CDF: Cumulative Distribution Function', fontsize=14, fontweight='bold')
plt.ylim(-0.1, 1.1)
plt.grid(alpha=0.3)

# Mark special points
plt.axhline(0.5, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5)
plt.axvline(70, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5)
plt.plot(70, 0.5, 'ro', markersize=8)
plt.text(72, 0.52, 'F(70) = 0.5\nMedian', fontsize=10)

plt.tight_layout()
plt.savefig('pdf_vs_cdf.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

CDFの読み方：

• x = 70°Cのとき、F(70) = 0.5：「コーヒーの50%は70°C以下」
• x = 65°Cのとき、F(65) = 0.25：「コーヒーの25%は65°C以下」
• x = 75°Cのとき、F(75) = 0.75：「コーヒーの75%は75°C以下」

Chibanyの弁当へのつながり

Chibanyの観察を思い出しましょう：弁当の重さはちょうど500gや350gではなく、ばらつきがあります！

今では、このばらつきをモデル化するツールがあります：

1. とんかつ弁当：重さは500g周辺で連続的
2. ハンバーグ弁当：重さは350g周辺で連続的

しかし、一様分布は当てはまりません。なぜでしょうか？

• 一様分布はある範囲内のすべての値が等しく起こりやすいと言う
• しかし、実際には重さが500gや350gの近く に集中している
• 中心から離れた値は起こりにくい

私たちが必要とする分布は：

• 中心にピーク（最頻値）を持つ
• 中心から離れるにつれて起こりにくくなる
• 制御されたばらつきを持つ（ある弁当は他より変動が大きい）

その分布がガウス分布（正規分布）—あの有名な鐘型曲線です！

それが次の章で学ぶ内容です。

まとめ

練習問題

問題1：待ち時間

Chibanyのバスは午前8時から8時20分の間に一様に到着します。バスが到着する確率はいくらですか：

• a) 8時5分より前？
• b) 8時10分から8時15分の間？
• c) 8時18分より後？

問題2：GenJAXシミュレーション

問題1のGenJAX生成関数を書き、10,000回のバス到着をシミュレーションしてください。経験的な確率が理論値と一致することを確認してください。

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from genjax import gen, uniform
import jax.numpy as jnp
import jax.random as random

@gen
def bus_arrival():
    """Bus arrives uniformly between 0 and 20 minutes after 8:00 AM"""
    arrival_time = uniform(0.0, 20.0) @ "arrival"
    return arrival_time

# Simulate 10,000 arrivals
key = random.PRNGKey(123)
arrivals = []

for _ in range(10000):
    key, subkey = random.split(key)
    trace = bus_arrival.simulate(subkey, ())
    arrivals.append(trace.get_retval())

arrivals = jnp.array(arrivals)

# Calculate empirical probabilities
prob_before_5 = jnp.mean(arrivals < 5)
prob_10_to_15 = jnp.mean((arrivals >= 10) & (arrivals <= 15))
prob_after_18 = jnp.mean(arrivals > 18)

print(f"a) P(before 8:05): {prob_before_5:.3f} (theoretical: 0.250)")
print(f"b) P(8:10 to 8:15): {prob_10_to_15:.3f} (theoretical: 0.250)")
print(f"c) P(after 8:18): {prob_after_18:.3f} (theoretical: 0.100)")

a) P(before 8:05): 0.248 (theoretical: 0.250)
b) P(8:10 to 8:15): 0.252 (theoretical: 0.250)
c) P(after 8:18): 0.099 (theoretical: 0.100)

問題3：ゼロ確率が不可能を意味しない理由

$P(X = 505.0 \text{ exactly}) = 0$であるなら、Chibanyがちょうど505.0gの弁当を観測したことはどうして可能なのでしょうか？

次へ： 第3章 - ガウス分布 →

いよいよ鐘型曲線と出会い、それが自然界のあちこちに見られる理由を理解します！