https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/learning/index.html**二つの山の謎。**初夏、何かが変わりました：今学期の弁当は風呂敷に包まれて 届きます——中身が見えません。覗き見を拒むChibanyは弁当を量り始めますが、 重さは不可解です：平均は441gなのに、441gの弁当は一つもないのです。この謎 を解くにはこのPart全体が必要です：連続量には数え上げの代わりに密度が、山には ガウス分布が、学習には事後分布になる事前分布が、そして二つの山そのものには 混合モデルが必要です。 道具で学んだGenJAXがすべてを動かします——確率は密度に、和は積分 に、数え上げは面積になりますが、コードはほとんど変わりません。微積分は不要 です：直感が先、数学の前に図とコード。 章一覧 Chibanyの謎の弁当 連続体：連続確率 ガウス分布 ガウス分布によるベイズ学習 ガウス混合モデル 本プロジェクトは日本確率計算コンソーシアム協会（JPCCA）の助成を受けています。HugojaThu, 02 Jul 2026 00:00:00 +0000https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/learning/mystery-bentos/index.htmlThu, 02 Jul 2026 00:00:00 +0000https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/learning/mystery-bentos/index.html重さの問題 新しいセメスターが始まり、Chibanyの学生たちがまた弁当を持ってきてくれている。でも今回は、何かが違う。 前のセメスターは、弁当箱が透明だった。だから中にとんかつが入っているのか、ハンバーグが入っているのかすぐに分かった。でも今セメスターは、弁当箱が不透明だ。受け取った時に中身が見えない。すぐに何の料理かを知りたいが、学生たちが見ている前で弁当箱を開けるのは極めて失礼だ。幸いにも、Chibanyは好奇心旺盛で、確率論者でもある。 そこで計画を立てた：弁当の重さを量るのだ。 とんかつ弁当はボリュームがあって重い。ハンバーグ弁当は軽い。重さを記録すれば、何を受け取っているかが分かるかもしれないし、次に何が来るかも予測できるかもしれない。 立ち聞きした会話 ある午後、Chibanyがうたた寝をしていると、近くで2人の学生が話しているのが聞こえた： 学生1：「ほとんどの日にとんかつをChibanyに持ってきてるんだ。大好きみたいだから！」 学生2：「私も！でもカフェテリアのとんかつが切れた時は、ハンバーグを持ってくることもあるよ。」 学生1：「そうだよね、私はとんかつを…10回中7回くらい持ってくるかな？」 学生2：「同じくらい！とんかつ70%、ハンバーグ30%くらい。」 Chibanyは微笑んだ。やっぱりパターンがあるじゃないか！でも実験は続けることにした。弁当の重さを量るだけでこの70-30の比率を発見できるだろうか？ 第1週：不思議なこと Chibanyは最初の1週間の弁当の重さを量って記録した： 月曜日：520g 火曜日：348g 水曜日：505g 木曜日：362g 金曜日：488g 平均を計算すると：441グラム。 「ふむ」と考えた。「おかしいな。前のセメスターでは、とんかつ弁当は約500gで、ハンバーグ弁当は約350gだったはずだ。でも441gはちょうど中間だ！中くらいの大きさの弁当を受け取っているのだろうか？」 次の数週間でさらに弁当の重さを量った： 第2週：355g、510g、492g、345g、515g 第3週：498g、358g、505g、362g、490g 第4週：352g、488g、508g、355g、495g 1か月後、20個の測定値が得られた。平均は依然として約445gだった。 でも何かが合わない…… 明かされたパラドックス Chibanyは測定値のヒストグラムを描いた： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 import numpy as np # Chibany's actual measurements (grams) weights = np.array([ 520, 348, 505, 362, 488, # Week 1 355, 510, 492, 345, 515, # Week 2 498, 358, 505, 362, 490, # Week 3 352, 488, 508, 355, 495 # Week 4 ]) print(f"Average weight: {weights.mean():.1f}g") print(f"Weights near 350g: {np.sum((weights >= 340) & (weights <= 370))}") print(f"Weights near 500g: {np.sum((weights >= 480) & (weights <= 520))}") print(f"Weights near 445g: {np.sum((weights >= 435) & (weights <= 455))}") 可視化コードを表示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 import matplotlib.pyplot as plt # Create histogram plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.hist(weights, bins=15, edgecolor='black', alpha=0.7, color='steelblue') plt.axvline(weights.mean(), color='red', linestyle='--', linewidth=2, label=f'Average: {weights.mean():.1f}g') plt.xlabel('Weight (grams)', fontsize=12) plt.ylabel('Frequency', fontsize=12) plt.title("Chibany's Mystery Bentos - First Month", fontsize=14, fontweight='bold') plt.legend(fontsize=11) plt.grid(axis='y', alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.savefig('mystery_bentos_histogram.png', dpi=150, bbox_inches='tight') plt.show()https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/learning/continuous/index.htmlThu, 02 Jul 2026 00:00:00 +0000https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/learning/continuous/index.html数えることから測ることへ Chibanyはヒストグラムをじっと見つめています。期待値は理解できました。455gという平均は、500gのとんかつ弁当と350gのハンバーグ弁当の混合として意味をなします。 しかし、まだ気になることがあります。 最初の週の実際の計測値を見てみましょう： Monday: 520g (tonkatsu) Tuesday: 348g (hamburger) Wednesday: 505g (tonkatsu) Thursday: 362g (hamburger) Friday: 488g (tonkatsu) 重さはちょうど500gや350gではありません！ばらつきがあります。 そして、より深い問いがあります：弁当がちょうど505.000000…グラムである確率はいくらか？ Chibanyは気づきます：チュートリアル1では、離散的な結果を数えることで確率を学びました。しかし、重さは離散的ではありません。連続です。340gと520gの間には無限に多くの可能な値があります。 可能性が無限にある場合、どのように確率を割り当てるのでしょうか？ 離散確率の問題 離散的なアプローチがなぜうまくいかないかを見てみましょう。 チュートリアル1では、Chibanyはこの公式を使いました： $$P(\text{event}) = \frac{\text{# of outcomes in event}}{\text{# of total outcomes}}$$これは結果が有限個だから成り立ちました： 標本空間：{とんかつ、ハンバーグ} $P(\text{tonkatsu}) = \frac{1}{2}$（ランダムに選ぶ場合） しかし連続的な重さでは、これは成り立ちません： 標本空間：（例えば）340gから520gの間のすべての実数 $P(\text{weight} = 505g \text{ exactly}) = \frac{1}{\infty} = 0$ すべての特定の重さの確率がゼロです！ これはおかしく思えます。Chibanyは確かに505gを観測しました。起きたことがゼロの確率であるはずがないのでしょうか？ 📘 基礎概念：数えることから測ることへ チュートリアル1から思い出してください。確率は数えることから始まりました： $$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{outcomes in event}}{\text{total outcomes}}$$これは{ハンバーグ、とんかつ}のような離散的な結果に対して完璧に機能しました。なぜなら：https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/learning/gaussian/index.htmlThu, 02 Jul 2026 00:00:00 +0000https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/learning/gaussian/index.htmlベルカーブ 第2章で一様分布について学んだ後、Chibany はあることに気づきます。実際の測定値が範囲全体に均等に広がることはほとんどないのです。1000食のとんかつ弁当を丁寧に計測しても、重量が 495g から 505g の間に一様に分布するわけではありません。むしろ、ほとんどの値が 500g 付近に集まり、その中心値から離れるほど測定値は少なくなります。 このパターンは自然界のいたるところで見られます: 人の身長 測定誤差 テストの点数 日々の気温 そして、弁当の重量も！ これがガウス分布（正規分布とも呼ばれます）であり、統計学において最も重要な確率分布と言っても過言ではありません。 特徴的な「ベルカーブ」形状は、基本的なパターンを捉えています。ほとんどの値が平均値付近に集まり、そこから離れるにつれてなめらかに対称的に減少するというパターンです。 ガウス分布の確率密度関数 ガウス分布の確率密度関数（PDF）は次のように表されます: $$p(x|\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right)$$慌てないでください！ この数式を暗記する必要はありません。GenJAX が代わりに処理してくれます。しかし、パラメータが何を意味するかを理解しておきましょう。 形状を決める2つのパラメータ 1. 平均値（μ、「ミュー」）: ベルカーブの中心 ここにピークがあります これは期待値でもあります: E[X] = μ μ を変えると、曲線全体が左右にシフトします 2. 分散（σ²、「シグマ二乗」）: 曲線の広がり 分散が大きい → 幅広く平たいベル 分散が小さい → 幅が狭く高いベル 標準偏差（σ）はその平方根です: σ = √(σ²) わかりやすく言うと ガウス分布の PDF が意味することは: 「μ に近い値が最も起こりやすく、そこから離れるほど尤度はなめらかに下がる。その下がり方の速さは σ² によって決まる。」 指数部分 $\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right)$ の複雑な式がベル形状を作り出します。重要な洞察: x = μ（平均値）のとき、指数は 0 となり exp{0} = 1（最大の高さ） x が μ から離れるにつれ、$(x-\mu)^2$ が大きくなり、指数が負に向かう 負の指数は 0 に近づき、裾野（テール）を形成する 68-95-99.7 規則 ガウス分布の最も有用な性質の一つ:https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/learning/bayesian-learning/index.htmlThu, 02 Jul 2026 00:00:00 +0000https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/learning/bayesian-learning/index.html学習問題 Chibany には新たな課題があります。新しいサプライヤーから弁当が届くようになりましたが、そのとんかつ弁当の平均重量がわかりません。いつものサプライヤーと同様に 500g を目標にしていると思っていますが、確信はありません。もしかすると 495g を目指しているのかも？それとも 505g？ 問い：観測データから真の平均重量をどうやって学習すればよいか？ これが ベイズ学習 です。事前信念から始まり、データを観測し、事後信念へと更新していきます。 設定：平均未知、分散既知 まずシンプルなケースから始めましょう。次のように仮定します。 個々の弁当重量は X ~ N(μ, σ²) に従う 分散 σ² = 4（標準偏差 = 2g）は 既知 [一定の精度] 平均 μ は 未知 [学習したいもの] 事前信念：データを見る前に、Chibany は μ ~ N(500, 25) と考えています。 最良の推測：500g（事前分布の平均） 不確実性：標準偏差 5g（したがって分散 = 25） これは「平均は 500g 前後だと思うが、±5g 程度の不確かさがある」ということを表しています。 データの観測 Chibany は新しいサプライヤーの最初の弁当を計量しました：x₁ = 497g 重要な洞察：この単一の観測は μ に関する情報を含んでいます！ μ が 500g なら、497g を観測することはそれなりに起こりうる（1.5σ 以内） μ が 510g なら、497g を観測することはかなり起こりにくい（6.5σ も離れている！） μ が 495g なら、497g を観測することは非常に起こりやすい（わずか 1σ） 観測は、データをより尤もらしくする値の方向に μ に関する信念を シフト させます。https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/learning/mixture-models/index.htmlThu, 02 Jul 2026 00:00:00 +0000https://josephausterweil.github.io/probintro/ja/learning/mixture-models/index.html謎に立ち返る 第1章でのChibanyの最初の謎を覚えていますか？ 重さの分布に2つのピークを持つ謎のお弁当があったにもかかわらず、平均値はどの弁当も実際には存在しない谷間に落ちていました。 これを完全に解くためのツールがすべて揃いました： 第1章：混合分布における期待値のパラドックス 第2章：連続確率（PDF、CDF） 第3章：ガウス分布 第4章：パラメータのベイズ学習 これらを組み合わせます：複数のガウス分布が混合されており、各観測値がどのコンポーネントに属するかと、各コンポーネントのパラメータの両方を明らかにする必要がある場合はどうすればよいでしょうか？ これが**ガウス混合モデル（GMM）**です。 📚 前提知識：分類の理解 GMM学習問題の全体に取り組む前に、既知のパラメータを用いた混合モデルにおける分類を理解していることを確認してください。 ⚠️ 推奨される準備 まだ取り組んでいない方は、第4章のガウスクラスター課題を通してください： 📝 課題：Colabで開く：solution_2_gaussian_clusters.ipynb 📓 インタラクティブな探索：Colabで開く：gaussian_bayesian_interactive_exploration.ipynb（パート2） この重要性： 第4章 問題2 では、パラメータが既知の場合にP(カテゴリ | 観測値)を計算する方法を学びます この章（第5章） では、パラメータが未知の場合のパラメータ学習に拡張します 既知パラメータでの分類を理解することは、それらを学習しようとする前に不可欠です！ 練習すること： ベイズの定理の使用：P(c|x) = p(x|c)P(c) / p(x) 周辺分布の計算：p(x) = Σ_c p(x|c)P(c) 決定境界と事前分布・分散がそれに与える影響の理解 二峰性対単峰性の混合分布の可視化 橋渡し：既知パラメータ → 未知パラメータ 第4章 問題2 で学んだこと： 与えられたもの：μ₁、μ₂、σ₁²、σ₂²、θ（すべて既知） 推論するもの：各観測値のカテゴリ 公式：P(c=1|x) = θ·N(x;μ₁,σ₁²) / [θ·N(x;μ₁,σ₁²) + (1-θ)·N(x;μ₂,σ₂²)] この章では、より難しい問題に取り組みます： 与えられたもの：観測値のみ x₁, x₂, …, xₙ 推論するもの：カテゴリおよびパラメータ μ₁、μ₂、σ₁²、σ₂²、θ 方法：期待値最大化（EM）アルゴリズム 次のように考えてみましょう：